...Ну вот, теперь на трезвую голову продолжу предыдущее сообщение с решением задачи.
Напомню, осталось доказать, что группа Z_{p^k}^* циклическая, где p - неч. пр.
Если k=1, то это известный факт: мультипликативная группа конечного поля всегда циклична. В самом деле, ни в какой меньшей степени, чем порядок этой мультипликативной группы, все её элементы не могут давать единицу: число корней полинома не превосходит его степени. Ну а дальше из примарного разложения следует циуличность.
Через q обозначим образующий в Z_p^*.
Пусть k=2. Докажем, что в Z_{p^2}^* либо q, либо q+p - образующий. В самом деле, порядок обоих элементов в группе Z_{p^2}^* делит p(p-1) и кратен p-1, т.к. в Z_p^* их порядок равен p-1. Значит, каждый из этих элементов либо имеет порядок p-1, либо является образующим. Предположим, что образующего среди них нет, т.е. оба в степени p-1 дают 1 по mod p^2. Но если расписать (q+p)^{p-1} по биному, то все слагаемые кратны p^2, кроме двух: q^{p-1} и p(p-1)q^{p-2}. Второе из них, как легко видеть, делится на p, но не на p^2. Поэтому (p-1)-е степени элементов q и q+p не сравнимы по модулю p^2.
Теперь через q будем обозначать образующий в Z_{p^2}^* - это либо прежний q, либо q+p. Докажем, что он и в Z_{p^k}^* образующий (k>1).
Для этого докажем следующее: при k>0 элемент q в степени (p-1)p^{k-1} сравним с 1 по mod p^k, но не сравним с 1 по модулю p^{k+1}. Применим индукцию по k. Для k=1 мы это уже поняли. Пусть верно для k>0; докажем для k+1. Обозначим q в степени (p-1)p^{k-1} через r. По предположению индукции r=ap^k+1, где a не кратно p. Распишем r^p по биному. Все слагаемые, кроме двух, кратны p^{2k+1}: p^k встречается хотя бы 2 раза, биномиальный коэффициент кратен p везде, кроме p^{kp}; но kp\ge3k\ge2k+1. А так как 2k+1\ge k+2, указанные слагаемые кратны p^{k+2}. Оставшиеся 2 слагаемых - это 1 и ap^{k+1}; напомним, что a не кратно p. Таким образом, r^p сравнимо с 1 по mod p^{k+1}, но не сравнимо с 1 по модулю p^{k+2}.
Теперь то, что q - образующий и в Z_{p^k}^* (k>1), легко доказать индукцией по k.
Для k=2 верно - уже доказали.
Пусть верно для k>1; докажем для k+1.
Порядок элемента q в Z_{p^k}^* равен (p-1)p^{k-1}, значит, в Z_{p^{k+1}}^* его порядок кратен (p-1)p^{k-1}, а с другой стороны делит (p-1)p^k, то есть равен (p-1)p^{k-1} либо (p-1)p^k. Нужно показать, что q при возведении в степень (p-1)p^{k-1} не даёт единицу по модулю p^{k+1}. Но ведь это-то уже доказано.
Вот. Ну ладно, сорри, что нафлудил тут и не прибрал за собой :)

С вашего позволения отвечу simple_user’у.
Ответ в задаче: n = 4, p^k, 2p^k.
Представим n в виде произведения чисел вида p^k (разложим на простые множители). Числа p^k попарно взаимно просты => группа (кольцо) Z_n есть декартово произведение групп (колец) Z_{p^k}, а группа Z_n^* - декартово произведение групп Z_{p^k}^*. Если при этом Z_n^* - циклическая, то и все группы Z_{p^k}^* циклические и имеют попарно взаимно простые порядки. В
частности, среди этих порядков не более одного чётного. Но порядок Z_{p^k}^* равен(p-1)p^{k-1}, а значит, чётен при p\ne2. Таким образом, n имеет не более одного нечётного простого делителя, и его разложение на простые множители - p^k2^l. Группы Z_{p^k}^* и Z_{2^l}^* должны быть циклическими. Но если q нечётно, то q^2=1 (mod 8). Далее, если q=1 (2^m), m>0, то q^2=1 (2^{m+1}), так как (2^m\cdot a + 1)^2 - 1 кратно 2^{m+1}. Значит, при нечётном q и при l>2 имеем q^{2^{l-2}} = 1 (2^l) (доказывается индукцией), то есть в группе Z_{2^l}^* порядка 2^{l-1} уже при возведении в степень 2^{l-2} все элементы дают единицу. Таким образом, группа Z_{2^l}^* циклична <=> l=0,1,2. Еслиl=2, то порядок этой группы чётный, а значит, n в этом случае вообще не может иметь нечётных простых делителей.
Остались случаи p^k и 2p^k (p - неч. пр.). Имеем Z_{2p^k}^*=Z_{p^k}^*, так как группа Z_2^*тривиальна. Поэтому достаточно разобрать случай n=p^k. Это я как-нибудь в другой раз напишу, если не потеряет актуальность, а то и так длинно получилось :)

Народ, никто не подскажет, как решается задача о нахождении всех n при которых мультипликативная группа в Zn (она состоит из чисел k таких, что НОД(n,k)=1) - циклическая.
Буду благодарен за все умные мысли касательно задачи.

"...Только праздник этот свой у каждого,
Нет на свете праздника столь важного,
Просто потому что он всегда
Нам напоминает про года"

Как вы уже, наверно, догадались, от всей души поздравляю вас с днём рождения! Это в общем-то уже стало на этом сайте традицией. А началось всё в том далёком две тыщи 4-м, когда нередко удалялись неугодные сообщения, не относящиеся к учебным материалам сайта, и вплоть до самого ДР'а меня мучал вопрос, будут ли тут поздравительные мессаги и пройдут ли они этот т.н. "ценз". И ведь прошли же. Даже обидно, что все эти прошлые круглые даты отмалчивался, наблюдая нескончаемые (тирады)(потоки) тёплых искренних слов, сыплющихся как из рога изобилия. Вот и подумал, может, хоть сейчас не останусь в сторонке.
В общем, желаю вам успехов и процветания на деловом фронте, счастья - на жизненном, ну и кто там сказал, что молодёжь друг другу здоровья не желает? Оно уж всяко необходимо для свершения остального перечисленного. И пусть его будет сполна! Спасибо за то, что вы есть!

все, я нашел их

Здравствуйте! Подскажите, плиз, где можно взять вопросы к госэкзаменам для механиков пятого курса, неважно какого года.

Пожалуйста...помогите...плиз...тут говорилось,что имеется прога нахождения обратной матрицы методом LUразложеня...если есть...выложите на форум и уточните где конкретно...а то я не оч понимаю как тут искать...

Подскажите, пожалуйста, как определяется комплексное проективное пространство

Приветствую вас и поздравляю с днём рождения сайта! Четыре года - это как-никак срок.
Хорошо, что всё-таки состоялось кумулятивное обновление. А то у меня уже закрался стереотип, что сайт существует и функционирует лишь при условии, что его создатели учатся на мехмате как студенты или аспиранты. Даже родилась в голове идея сделать сайт www точка osvic точка ru источником учебных материалов, "помогающим мехматовцу в нелёгкой жизни". Только вот не знал (и доселе не знаю), как с его владельцем связаться, мыло нигде не указано. А тут ещё и не обнаружил его в списках поступивших в аспу, даже удивился - парень-то толковый. Есть даже подозрение, что там какой-то гон, хотя не похоже, чтоб в ректоратских приказах пропускались строчки. Не исключено, что он сегодня тут отпишется - обычно ведь поздравляет со всякими днями рождения. И поздравления его всегда исполнены весельем, жизнерадостностью, чувством юмора, присущими ему от природы и иногда выходившими мне боком, но по моей вине Человек-то хороший, и я это всегда в глубине души понимаю. Извините, что расписался тут о нём - опять же, не знаю контактов для связи, кроме адреса сайта, а всё же хочется напомнить о себе, узнать, как жизнь и т.п. Ведь, как я уже говорил, вполне возможно что он посетит этот форум.
Вот, ну ещё раз вас поздравляю, желаю творческих и трудовых успехов, спасибо за неоценимую пользу для мехмата вообще и для меня в частности, за помощь как в учёбе, так и в работе с компом. Ура, товарищи!